Addizione - Sottrazione
$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$
$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)$
$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)$
$cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)$
$tan(\alpha \pm \beta) = \frac{tan(\alpha)\pm tan(\beta)}{1 \mp tan(\alpha)tan(\beta)}$
Duplicazione
$sin(2\alpha)=2sin(\alpha)cos(\alpha)$
Logaritmi
$a^{log_ab} = b$
$log_a(bc)=log_ab+log_ac$
$log_a(b^c)=clog_ab$
$log_a(\frac{b}{c})=log_ab-log_ac$
$log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}$
$log_ab=\frac{1}{log_ba}$
Derivate
$D[k] = 0$
$D[kx]=k$
$D[k x^n]=k n x^{n-1}$
$D[ln {f(x)}]=\frac{f'(x)}{f(x)}$
$D[e^{f(x)}]=f'(x)e^{f(x)}$
$D[a^{f(x)}]=f'(x)a^{f(x)}lna$
$D[ln_ax]=\frac{1}{xlna}$
$D[\sqrt[n]{(f(x))^m}] = \frac{m f'(x)}{n \sqrt[n]{(f(x))^{n-m}}}$
$D[(f(x))^n]=n(f(x))^{n-1}f'(x)$
$D[kf(x)]=kf'(x)$
$D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)$
$D[f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
$D[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$
$D[f(g(x))]=f'(g(x))g'(x)$
domenica 9 aprile 2017
martedì 14 febbraio 2017
Limiti :: stime asintotiche
$sinx \sim_0 x$
$1 - cosx \sim_0 \frac{1}{2}x^2$
$e^x - 1 \sim_0 x$
$ln(1+x) \sim_0 x$
$(1+x)^\alpha - 1 \sim_0 \alpha x$
$1 - cosx \sim_0 \frac{1}{2}x^2$
$e^x - 1 \sim_0 x$
$ln(1+x) \sim_0 x$
$(1+x)^\alpha - 1 \sim_0 \alpha x$
domenica 12 febbraio 2017
lunedì 6 febbraio 2017
Integrazione su altri domini
Passiamo dai domini rettangolari ai domini regolari (unione finita di insiemi semplici).
Y-semplice
$E = \{ (x,y) \in \mathbb{R} : \leq x \leq b, g_1(x) \leq y \leq g_2(x) \}$
con $g_1$ e $g_2$ funzioni continue definite in $[a,b]$.
Un dominio è detto y-semplice se due punti in $g_1$ e $g_2$ si incontrano attraverso una retta fissata in $[a,b]$.
$\int \int_E f(x,y)dxdy = \int\limits_a^b=\int\limits_a^b(\int\limits_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dy)dx$
X-semplice
$E=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, h_1(y) \leq x \leq h_2(y), c \leq y \leq d \}$
$h_1$ e $h_2$ funzioni continue definite in $[c,d]$.
Un insieme D si dice semplice, se si può esprimere come unione finita di insiemi semplici.
Y-semplice
$E = \{ (x,y) \in \mathbb{R} : \leq x \leq b, g_1(x) \leq y \leq g_2(x) \}$
con $g_1$ e $g_2$ funzioni continue definite in $[a,b]$.
Un dominio è detto y-semplice se due punti in $g_1$ e $g_2$ si incontrano attraverso una retta fissata in $[a,b]$.
$\int \int_E f(x,y)dxdy = \int\limits_a^b=\int\limits_a^b(\int\limits_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dy)dx$
X-semplice
$E=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, h_1(y) \leq x \leq h_2(y), c \leq y \leq d \}$
$h_1$ e $h_2$ funzioni continue definite in $[c,d]$.
Un insieme D si dice semplice, se si può esprimere come unione finita di insiemi semplici.
Integrali di funzioni a due variabili
(Integrali Doppi)
$f:A\to\mathbb{R}$, $A \subset \mathbb{R}^2$, f continua.
Utilizziamo le somme di Cauchy.
Sia $f(x,y): [a,b]x[c,d]\to\mathbb{R}$ dividiamo $[a,b]$ e $[c,d]$ ciascuno in $n$ parti uguali. Sia $\xi_{ik}$ un punto qualsiasi in $I_{ik}$.
Ogni rettangolino corrisponde all'area della superficie della curva coperta.
Somme di Cauchy
$\sum\limits_{i=1}^n area(I_{ik}) f(\xi_{ik})$ ovvero il volume del parallelepipedo avente come base il rettangolo $I_{ik}$ e altezza $f(\xi_{ik}$
$area(I_{ik})=J_ixH_k=m(I_{ik})$
Se $f:A\to\mathbb{R}$, $A \subset \mathbb{R}^2$ è continua allora esiste:
$$\lim\limits_{n\to +\infty} \sum\limits_{i=1}^n m(I_{ik} f(\xi_{ik}) $$ ed il valore di questo limite è l'integrale doppio $\int \int\limits_D f(x,y)dxdy$ per $f \geq 0$ $\int \int\limits_D f(x,y)dxdy$ rappresenta il volume della regione di spazio sottesa dalla superficie.
Integrali doppi su domini rettangolari.
$f: A\to \mathbb{R}, A \subset \mathbb{R}^2$, rettangolo $R = [a,b]x[c,d]$, $f$ continua.
$\int \int\limits_D f(x,y)dxdy$ si può calcolare mediante due integrazioni successive.
$\int \int\limits_D f(x,y)dxdy = \int\limits_a^b (\int\limits_c^d f(x,y)dy)dx$
vale anche:
$\int\limits_c^d (\int\limits_a^b f(x,y)dx)dy$
$f:A\to\mathbb{R}$, $A \subset \mathbb{R}^2$, f continua.
Utilizziamo le somme di Cauchy.
Sia $f(x,y): [a,b]x[c,d]\to\mathbb{R}$ dividiamo $[a,b]$ e $[c,d]$ ciascuno in $n$ parti uguali. Sia $\xi_{ik}$ un punto qualsiasi in $I_{ik}$.
Ogni rettangolino corrisponde all'area della superficie della curva coperta.
Somme di Cauchy
$\sum\limits_{i=1}^n area(I_{ik}) f(\xi_{ik})$ ovvero il volume del parallelepipedo avente come base il rettangolo $I_{ik}$ e altezza $f(\xi_{ik}$
$area(I_{ik})=J_ixH_k=m(I_{ik})$
Se $f:A\to\mathbb{R}$, $A \subset \mathbb{R}^2$ è continua allora esiste:
$$\lim\limits_{n\to +\infty} \sum\limits_{i=1}^n m(I_{ik} f(\xi_{ik}) $$ ed il valore di questo limite è l'integrale doppio $\int \int\limits_D f(x,y)dxdy$ per $f \geq 0$ $\int \int\limits_D f(x,y)dxdy$ rappresenta il volume della regione di spazio sottesa dalla superficie.
Integrali doppi su domini rettangolari.
$f: A\to \mathbb{R}, A \subset \mathbb{R}^2$, rettangolo $R = [a,b]x[c,d]$, $f$ continua.
$\int \int\limits_D f(x,y)dxdy$ si può calcolare mediante due integrazioni successive.
$\int \int\limits_D f(x,y)dxdy = \int\limits_a^b (\int\limits_c^d f(x,y)dy)dx$
vale anche:
$\int\limits_c^d (\int\limits_a^b f(x,y)dx)dy$
Criterio calcolo limiti
Per verificare che il limite $$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=l$$ possiamo procedere come segue: si considerano le coordinate polari
$\begin{cases} x=\rho cos\Theta, \\ y=\rho sin\Theta, \end{cases}$ e si effettua il cambiamento di coordinate, e si ottiene $f(\rho,\Theta)=f(\rho cos\Theta, \rho sin\Theta)$ se si riesce ad effettuare una maggiorazione del tipo $|f(\rho,\Theta)-L|\leq g(\rho)$ con g non dipendente da $\Theta$ e tale che $g(\rho)\to0$ per $\rho \to 0$ allora possiamo affermare che $$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=L$$
Es:
$$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^3}{x^2+y^2}$$
$f(\rho, \Theta)=\frac{\rho^5 cos^2\Theta sin^3 \Theta}{\rho ^2}$
$=\rho^3 cos^2 \Theta sin^3 \Theta$
$0 \leq |f(\rho, \Theta) - l| = \rho^3|cos^2\Theta sin^3\Theta|$
$\leq \rho^3 \to 0$ non dipende da $\Theta$. Il limite fa zero.
$\begin{cases} x=\rho cos\Theta, \\ y=\rho sin\Theta, \end{cases}$ e si effettua il cambiamento di coordinate, e si ottiene $f(\rho,\Theta)=f(\rho cos\Theta, \rho sin\Theta)$ se si riesce ad effettuare una maggiorazione del tipo $|f(\rho,\Theta)-L|\leq g(\rho)$ con g non dipendente da $\Theta$ e tale che $g(\rho)\to0$ per $\rho \to 0$ allora possiamo affermare che $$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=L$$
Es:
$$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^3}{x^2+y^2}$$
$f(\rho, \Theta)=\frac{\rho^5 cos^2\Theta sin^3 \Theta}{\rho ^2}$
$=\rho^3 cos^2 \Theta sin^3 \Theta$
$0 \leq |f(\rho, \Theta) - l| = \rho^3|cos^2\Theta sin^3\Theta|$
$\leq \rho^3 \to 0$ non dipende da $\Theta$. Il limite fa zero.
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