Integrali di funzioni a due variabili

(Integrali Doppi)

$f:A\to\mathbb{R}$, $A \subset \mathbb{R}^2$, f continua.
Utilizziamo le somme di Cauchy.
Sia $f(x,y): [a,b]x[c,d]\to\mathbb{R}$ dividiamo $[a,b]$ e $[c,d]$ ciascuno in $n$ parti uguali. Sia $\xi_{ik}$ un punto qualsiasi in $I_{ik}$.
Ogni rettangolino corrisponde all'area della superficie della curva coperta.

Somme di Cauchy
$\sum\limits_{i=1}^n area(I_{ik}) f(\xi_{ik})$ ovvero il volume del parallelepipedo avente come base il rettangolo $I_{ik}$ e altezza $f(\xi_{ik}$
$area(I_{ik})=J_ixH_k=m(I_{ik})$
Se $f:A\to\mathbb{R}$, $A \subset \mathbb{R}^2$ è continua allora esiste:
$$\lim\limits_{n\to +\infty} \sum\limits_{i=1}^n m(I_{ik} f(\xi_{ik}) $$ ed il valore di questo limite è l'integrale doppio $\int \int\limits_D f(x,y)dxdy$ per $f \geq 0$ $\int \int\limits_D f(x,y)dxdy$ rappresenta il volume della regione di spazio sottesa dalla superficie.

Integrali doppi su domini rettangolari.
$f: A\to \mathbb{R}, A \subset \mathbb{R}^2$, rettangolo $R = [a,b]x[c,d]$, $f$ continua.

$\int \int\limits_D f(x,y)dxdy$ si può calcolare mediante due integrazioni successive.
$\int \int\limits_D f(x,y)dxdy = \int\limits_a^b (\int\limits_c^d f(x,y)dy)dx$
vale anche:
$\int\limits_c^d (\int\limits_a^b f(x,y)dx)dy$