Esempio equazione differenziale

Es:
$y'=4y$     $y'-4y=0$
Se $y \neq 0$: considero $\frac{y'}{y}=4$
ma osservo che $y=0$ è soluzione dell'equazione
risolvo $\frac{y'}{y}=4$
integrando
$\int\frac{y'(t)}{y(t)}dt=4\int dt$

poiché il differenziale $dy(t)=y'(t)dt$
$\int \frac{dy}{y}=4 \int dt \rightarrow ln|y|+c'=4t+c'' \rightarrow ln|y|=4t+c$
elevo ad e: $|y|=e^{4t+c}=e^{4t}+e^c

$|y|$ è sempre positivo, $e^{4t}$ e $e^c$ anche.
$y(t)=\pm e^c e^{4t}$      e^c non è mai nulla $\Rightarrow$
$=Ce^{4t}, C \in \mathbb{R}$

Scrivendo $C$, permetto alla costante di assumere valore $0$, quindi ho trovato anche la soluzione $y(t)=0$ temporaneamente scartata.
    $y(t)=C e^{4t}$
    $y'(t)=4C e^{4t}$
    $y'=4y$