Equazioni differenziali lineari di secondo ordine a coefficienti costanti

$y''+ay'+by=f(t)$,   $a,b \in \mathbb{R}$

caso omogeneo:
$y''+ay'+by=0$
determiniamo due soluzioni linearmente indipendenti $y_1$ e $y_2$
cerchiamo soluzioni del tipo:
$y(t)=e^{\lambda t}$
derivando:
$y'(t)=\lambda e^{\lambda t}$
$y''(t)=\lambda^2 e^{\lambda t}$

e sostituendo:
$\lambda^2 e^{\lambda t} + a \lambda e^{\lambda t} + b e^{\lambda t} = 0$
$e^{\lambda t}(\lambda^2+a \lambda +b)=0$
$e^{\lambda t}\neq 0$ sempre, quindi valuto:
$\lambda^2+a \lambda +b=0$
che prende il nome di equazione caratteristica.

1) $\Delta>0$  trovo $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$ $ \lambda_1 \neq \lambda_2$
$y = c_1 e^{\lambda_1 t}+c_2 e^{\lambda_2 t}$

2) $\Delta=0$ trovo $\lambda \in \mathbb{R}$
$y = c_1 e^{\lambda t}+c_2 t e^{\lambda t}$

3) $\Delta<0$ $\lambda = \alpha \pm i \beta \in \mathbb{C}$
$y_1 = e^{(\alpha + i \beta)t}$ $y_2 = e^{(\alpha - i \beta)t}$
$y_2 = e^{\alpha t}e^{i \beta t}$ $y_2 = e^{\alpha t}e^{-i \beta t}$
poiché:
$cos \beta t = \frac{e^{i \beta t}+e^{-i \beta t}}{2}$
$sin \beta t = \frac{e^{i \beta t}-e^{-i \beta t}}{2i}$

allora:
$y_1=e^{\alpha t} cos \beta t$ $y_2=e^{\alpha t} sin \beta t$


Es:

• $y''+y'+y=0$

la cui equazione caratteristica è
$\lambda^2+\lambda+1=0$
$\lambda = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\pm \frac{ \sqrt{3}}{2}i$

$y_1 = e^{\frac{1}{2}t}cos\frac{\sqrt}{2}{3}t$
$y_2 = e^{\frac{1}{2}t}sin\frac{\sqrt}{2}{3}t$

$y''+4y=0$

$\lambda^2 + 4=0 \rightarrow \lambda = \pm 2i$

$y_1 = cos2t$
$y_2 = sin2t$