Calcolo integrale generale

Dato $y'+a(t)y=f(t)$ sotto ipotesi di continuità per a, f,
avremo come soluzione:
$y(t)=z(t)+y_0(t)$

1. si determina l'integrale generale dell'equazione omogenea associata (EOA) $z'+a(t)z=0$
2. si determina una soluzione particolare $y_0(t)$ dell'equazione completa

1.  $z'+a(t)z=0$ e indichiamo con $A(t)=\int a(t)dt$ una primitiva di $a(t)$.
   Si tratta di una equazione a variabili separabili: $z'=-a(t)z$.
   Si presenta $z=0$, che è soluzione stazionaria.
   Supponendo invece $z\neq 0$, separiamo le variabili
   $\frac{z'}{z}=-a(t) \rightarrow \int \frac{z'}{z}dt=-\int a(t)dt$
   $\int \frac{1}{z}dz=A(t)+c$ da cui ricavo:
   $ln|z|=-A(t)+c$ $\rightarrow |z| = e^{-A(t)+c} \rightarrow |z| = e^c e^{-A(t)}$ con $e^c>0$ costante
   $z = \pm e^c e^{-A(t)}$ da cui recupero la soluzione $z=0$ con $c \in \mathbb{R}$
   $z=ce^{-A(t)}$.
   Infatti se $c=0$ recupero tale soluzione stazionaria.
2. Per la ricerca di una soluzione particolare $y_0(t)$ dell'equazione completa, si usa il metodo di variazione della costante.
   Si cerca una soluzione del tipo $y_0=c(t)e^{-A(t)}$.
   Si vuole determinare $c(t)$ in modo che $y_0$ soddisfa l'equazione completa.
   Derivo: $y_0'(t)=c'(t)e^{-A(t)}-c(t)a(t)e^{-A(t)}$ e sostituisco:
   $c'(t)e^{-A(t)}-c(t)a(t)e^{-A(t)}+c(t)a(t)e^{A(t)}=f(t)$ $c'(t)e^{-A(t)}=f(t)$ da cui ricavo
   $c'(t)=f(t)e^{A(t)}$
   integrando $c(t) = \int f(t) e^{A(t)}dt$
   $y_0(t)=e^{-A(t)}\int f(t) e^{A(t)}dt$.
   Quindi l'integrale generale: $y=z+y_0$ si scrive:
   $y=ce^{-A(t)}+e^{-A(t)} \int f(t) e^{A(t)} dt$