Massimi e minimi per funzioni a due variabili

Definizione
$f: A \rightarrow \mathbb{R}$, $A \subset \mathbb{R}^2$, $(x_0, y_0) \in A$ diremo che il punto $(x_0, y_0)$ è un punto di:

•  massimo assoluto se
• $f(x_0, y_0) \geq f(x,y) \forall (x,y) \in A$
• minimo assoluto se
• $f(x_0, y_0) \leq f(x,y) \forall (x,y) \in A$
• massimo relativo o locale se
• $\exists U(x_0, y_0)$ del punto $(x_0, y_0)$ tale che $f(x_0,y_0) \geq f(x,y)$, $\forall (x,y) \in U(x_0, y_0) \cap A$ il valore $f(x_0,y_0)$ sarà il massimo assoluto/relativo
• minimo relativo o locale se
• $\exists U(x_0, y_0)$ del punto $(x_0, y_0)$ tale che $f(x_0,y_0) \leq f(x,y)$, $\forall (x,y) \in U(x_0, y_0) \cap A$ il valore $f(x_0,y_0)$ sarà il minimo assoluto/relativo

Teorema di Fermat

Sia $f \in C^1(A)$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$, $A$ aperto, $(x_0, y_0) \in A$

Se $(x_0, y_0)$ è un punto di massimo o minimo, se f è derivabile in $(x_0, y_0)$, allora:

$f_x(x_0, y_0)=f_y(x_0, y_0)=0$ (equivale a $\bigtriangledown f(x_0, y_0)$ è nullo)

Dimostrazione: Suppongo $(x_0, y_0)$ punto di massimo e consideriamo la funzione di una variabile $g(t)=f(t, y_0)$ (che avrà un massimo in $t=x_0$)

g risulta derivabile in $x_0$, $g'(x_0)=0$ 

$g'(t)=f_x(t,y_0)$

$g'(x_0)=f_x(x_0,y_0) \Rightarrow f_x(x_0, y_0)=0$ 

analogo per il procedimento con $f_y$

$g(t)=f(x_0, t)$

si otterrà: $f_y(x_0, y_0)=0$

la condizione $\bigtriangledown f(x_0, y_0) = 0$ è una condizione necessaria affinché il punto sia di massimo o di minimo. La condizione non è sufficiente, esistono punti in cui $\bigtriangledown f$ è nullo che non sono di massimo o minimo.

$\bigtriangledown f(x_0, y_0) = (0,0)$ allora $(x_0, y_0)$ si dirà punto critico o stazionario.

$f \in C^1(A) \Rightarrow f$ ammette piano tangente in $(x_0, y_0)$ $[( (x_0,y_0), f(x_0, y_0) ) \in G_f(\Gamma_f)]$

$z=f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$

Se $f \in C^1(A)$ e $\bigtriangledown f(x_0,y_0)=(0,0)$

$\Rightarrow$ il piano tangente è: 

$ z = f(x_0, y_0)$ cioè un piano parallelo al piano "$xy$".

Se $f \in C^1(A)$, i punti di massimo o minimo vanno ricercati tra i punti critici.

Vediamo delle condizioni (sufficienti) che permettono di classificare i punti critici per funzioni $f \in C^2(A)$

Ricordiamo la formula di Taylor del secondo ordine

$f(x_0+dx, y_0 +dy) - f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)dx + f_y(x_0, y_0)dy + \frac{1}{2}[f_{xx}(x_0,y_0)dx^2 + 2f_{xy}(x_0,y_0)dxdy+f_{yy}(x_0,y_0)dy^2]+o(dx^2+dy^2)$

Per stabilire se $(x_0,y_0)$ è un punto massimo voglio stabilire il segno dell'incremento della funzione: 

$f(x_0+dx, y_0 +dy) - f(x_0, y_0) \geq 0$

Per stabilire se $(x_0,y_0)$ è un punto minimo voglio stabilire il segno dell'incremento della funzione: 

$f(x_0+dx, y_0 +dy) - f(x_0, y_0) \leq 0$

Questo riconduce a stabilire il segno di $d^2f$, e quindi della forma quadratica:

$f_{xx}(x_0,y_0)dx^2+2f_{xy}(x_0, y_0)dxdy+f_{yy}(x_0,y_0)dy^2$

Matrice Hessiana: matrice associata alla forma quadratica

$H(x,y) = \left( \begin{array}{cc} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\ f_{xy}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{array}\right)$

$det(H(x,y))=-\frac{\Delta}{4}$

Forma quadratica
$d^2f(x_0,y_0) = f_{xx}(x_0,y_0)dx^2+2f_{xy}(x_0, y_0)dxdy+f_{yy}(x_0,y_0)dy^2$

1. definita positiva $det(H(x_0,y_0))>0$, $f_{xx}(x_0, y_0)>0$
2. definita negativa $det(H(x_0,y_0))>0$, $f_{xx}(x_0, y_0)<0$
3. indefinita $det(H(x_0,y_0))<0$
4. semi-definita $det(H(x_0,y_0))=0$

Esaminiamo i casi: 

1. Se $d^2f$ è definita positiva, possiamo scegliere un incremento $dx, dy$ così piccolo in modo che risulti: $f(x_0+dx, y_0+dy)-f(x_0,y_0) \geq 0$ $\Rightarrow f(x_0+dx, y_0+dy) \geq f(x_0,y_0)$ $\Rightarrow (x_0, y_0)$ è punto di minimo.  $det(H(x_0,y_0))>0$, $f_{xx}(x_0, y_0)>0$
2. Se $d^2f(x_0, y_0)$ è definita negativa $det(H(x_0,y_0))>0$, $f_{xx}(x_0, y_0)<0$ $\Rightarrow (x_0, y_0)$ è punto di massimo.
3. Se $d^2f(x_0, y_0)$ è indefinita $\Rightarrow (x_0, y_0)$ non è né massimo, né minimo, ma punto di sella (colle). $det(H(x_0,y_0))<0$
4. Se $d^2f(x_0,y_0)$ è semi-definita $det(H(x_0,y_0))=0$ con questo metodo non possiamo concludere.

Si potrebbe schematizzare, non mi va