Problema di Cauchy

Oltre all'equazione differenziale $y'(t)=g(t)$ possiamo considerare la stessa equazione differenziale con la condizione che la soluzione cercata passi per un punto assegnato.

$\begin{cases} y'(t)=g(t), \\ y(t_0)=y_0, \end{cases}$
$t_0 \in [a,b]$ e $y_0$ è un valore assegnato per l'equazione $y'=g(t)$, con il problema di Cauchy con la condizione iniziale $y(t_0)=y_0$ equivale:
$y(t)=y_0+\int_{t_0}^{t}g(s)ds$


$\begin{cases} y'(t)=tsint, \\y(0)=1, \end{cases}$
$y(t) = 1 + \int_{0}^t s sin(s)ds$
e l'integrale $\int_{0}^t s sin(s)ds$ si risolve per parti:
$\int fg'=fg-\int f'g$
$s sin(s)ds=-s cos(s)-\int-cos(s)ds=-s cos(s)+\int cos(s)ds$
$1+[-s cos(s)+sin(s)]_0^t$

$1+(-t cos(t)+sin(t))=1-tcos(t)+sin(t)$

$y(t)=1-tcos(t)+sin(t)$ per verificare $y(t)$ (e ottenere $g(t)$) oppure $cos(t)$

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Dato un problema di Cauchy del tipo:
$\begin{cases} y'=a(t)b(y), \\y(t_0)=y_0, \end{cases}$

se $a(t)$ è continua in un intero di $t_0$ e $b(y)$ è di classe $C^1$ in un intorno di $y_0$, allora esiste una sola soluzione $y(t)$ in un opportuno intorno di $t_0$.

[Vedi classi di analisi 1]

Es:
$\begin{cases} y'=2t(y-1)^2, \\y(0)=2, \end{cases}$

$y(0)=1 -\frac{1}{c}$ trovo $c$ imponendo $y(0)=2$
$1-\frac{1}{c}=2$ $\frac{1}{c}=-1$  $c=-1$

$y(t) = 1-\frac{1}{t^2-1}$

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Dato un problema di Cauchy del tipo:
$\begin{cases} y'=a(t)y=f(t), \\y(t_0)=y_0, \end{cases}$
$y(t)=y_0e^{-A(t)}+e^{-A(t)}\int_{t_0}^t f(t) e^{A(t)}dt$

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Il problema di Cauchy con le equazioni differenziali di secondo ordine, richiede due condizioni iniziali:
$\begin{cases} y(t_0)=y_0, \\ y'(t_0)=y_1, \end{cases}$ $y_0$ e $y_1 \in \mathbb{R}$ sono dei valori assegnati.

[grafico per capire il significato della derivata prima e del coefficiente angolare... c'è una retta con $m = y_1$ passante per $(t_0, y_0)$]

Visto che nel punto $y(t_0)=y_0$ passano $\infty$ soluzioni, noi cerchiamo la soluzione che, in quel punto abbia coefficiente angolare $m=y_1$