Limiti per funzioni di due variabili

Sia $f: A \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ e sia $(x_0, y_0)$ punto di accumulazione per $A$.

Il $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=L$ se $\forall \epsilon >0, \exists \delta$ tale che $0 < \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} < \delta$ con $(x,y,) \in A$

$(x,y) \in U_\delta (x_0, y_0) \bigcup A \ \{(x_0,y_0)\}$

$\Rightarrow |f(x,y)-L|<\epsilon$

• unicità limite 
• operazioni sui limiti (con le F.I.)

Osservazione importante (Condizione Necessaria)

$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0, y_0)}f(x,y)=L \Rightarrow$ per ogni curva regolare $\gamma(t)=\begin{cases} x=x(t), \\ y=y(t), \end{cases}$ 

passante per $(x_0, y_0)$ si avrà $\lim\limits_{t\to t_0} f(x(t), y(t))=L$

questa osservazione è utile nel caso in cui il limite non esiste. Infatti se determiniamo due curve lungo le quali i limiti sono diversi, possiamo concludere che $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0, y_0)}f(x,y)$ non esiste.