Cenni topologia

(in $R^2$)
Dato un punto $P_0=(x_0, y_0)$ ed $r>0$ l'intorno circolare di centro $P_0$ e raggio $r$ è:
$U_r(x_0, y_0)={(x,y) \in \mathbb{R}^2:(x-x_0)^2+(y-y_0)<r^2}$
sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)<r

Definizione.
Un sottoinsieme $A$ di \mathbb{R}^2 si dice aperto se per ogni punto $(x_0, y_0)$ di A, esiste un intorno circolare del punto contenuto nell'insieme $U_r(x_0, y_0) \subset A$

Proprietà aperti

1. L'insieme vuoto e $\mathbb{R}^2$ sono aperti
2. Se $A_1, A_2, ..., A_n, ...$ sono aperti, anche $\bigcup \limits_{i=1}^\infty A_i$ sarà aperto
3. L'intersezione finita di aperti è aperta.
4. $\forall U_r$ è aperto

Definizione

Diremo che un insieme C di $\mathbb{R}^2$ è chiuso se C è il complementare di un insieme aperto.

$C$ è chiuso $\Leftrightarrow ^c C$ è aperto.


Frontiera di un insieme $E$ di $\mathbb{R}^2$
Diremo che $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ è un punto di frontiera per $E$ se preso comunque un intorno del punto $U_r(x,y)$ si ha:
$U_r(x,y) \bigcap E \neq \emptyset$
$U_r(x,y) \bigcap ^CE \neq \emptyset$
(ha punti di $E$ e del suo complementare
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