Equazione differenziale di Bernoulli

$y'+a(t)y=f(t)y^\alpha$ $\alpha \in \mathbb{R}$
equazione differenziale del primo ordine non lineare, si riconduce al caso lineare dividendo tutto per $y^\alpha$:

$\frac{y'}{y^\alpha}+a(t)y^{1-\alpha}=f(t)$ $\alpha \in \mathbb{R}$

poniamo $z=y^{1- \alpha} \rightarrow z(t)=(y(t))^{1-\alpha}$

calcolo: $z'=(1-\alpha)y^{-\alpha}y'$
da cui: $\frac{y'}{y^\alpha}=\frac{z'}{1-\alpha}$

sostituendo, ottengo:
$\frac{z'}{1-\alpha}+a(t)z=f(t)$

$z' + (1-\alpha)a(t)z=(1-\alpha)f(t)$


Esempio:
$y'+\frac{2}{t}y=-\frac{lnt}{t}y^2$ ($t>0$)

dividiamo per $y^2$:
$\frac{y'}{y^2}+\frac{2}{t}y^{-1}=-\frac{lnt}{t}$

pongo $z=y^{-1}=\frac{1}{y}$
$z'=-\frac{1}{y^2}=-y^{-2} \rightarrow -\frac{y'}{y^2}$
quindi
$-z'+\frac{2}{t}z=-\frac{lnt}{t}$
$z'-\frac{2}{t}z=\frac{lnt}{t}$

$A(t)=-2\int \frac{1}{t}dt = -2 lnt$
$y(t)=ce^{-A(t)}+e^{-A(t)}\int f(t)e^{A(t)}dt$
$y(t)=ce^{2lnt}+e^{2lnt}\int \frac{lnt}{t}e^{-2lnt}dt$
$=ct^2+t^2\int \frac{lnt}{t}\frac{1}{t^2}dt$