Integrale generale di un'equazione omogenea di secondo ordine

$y''+a(t)y'+b(t)y=0$

Definizione.
Due soluzione $y_1$ e $y_2$ definite su $[\alpha, \beta]$ si dicono linearmente indipendenti se non esistono due costanti non nulle $c_1, c_2$ per cui:
$c_1 y_1(t) + c_2 y_2(t) = 0, \forall t \in [\alpha , \beta]$

Quindi $y_1$ e $y_2$ sono linearmente indipendenti se non sono proporzionali $\forall t \in [\alpha, \beta]$

Definizione.
Date due soluzioni $y_1$ e $y_2$ definite nello stesso intervallo $[\alpha, \beta]$ queste due sono linearmente indipendenti.

$\Leftrightarrow$ il
det di
$y_1(t)$ $y_2$
$y_1'(t)$ $y_2'$ deve essere diverso da zero.

(basta verificare che tale determinante sia non nullo in un punto $t_0$)