Numeri Complessi

$\mathbb{C}={a+ib, a,b \in \mathbb{R}}$ (forma algebrica)

• $i^1 = i$
• $i^2 = -1$
• $i^3 = -i$
• $i^4 = 1$
• $i^5= i$

$z = a + i b$ con $a = |z| cos \Theta$ e $b = |z| sin \Theta$ 

e $|z|$ è la retta costituita dai punti $(a,b)$

Coordinate Polari

$\begin {cases} x = \rho cos \Theta, \\ y = \rho sin \Theta, \end {cases} \Rightarrow z = \rho(cos \Theta + isin \Theta)$ (Forma trigonometrica)


Forma esponenziale
$z=x+iy$
$z = \rho(cos \Theta + i sin \Theta)$
Si passa alla forma esponenziale mediante la sostituzione $e^{i \Theta}=cos \Theta + i sin \Theta$
$z = \rho e^{i \Theta}$ (Forma esponenziale)
Questa forma semplifica le potenze e i prodotti:

• $z^3 = \rho^3 e^{i3 \Theta}$
• $z_1 z_2 = (\rho_1 \rho_2) e^{i(\Theta_1 \Theta_2)}$

$\bar{z}=\rho e^{-i \Theta} \Rightarrow \bar{z}=\rho(cos \Theta - i sin \Theta)$

$cos (-\Theta) = cos (\Theta)$

$sin (-\Theta) = - sin(\Theta)$

Formule di Eulero
$e^{i \Theta} = cos\Theta + i sin \Theta$
$e^{-i\Theta} = cos \Theta - i sin \Theta$

$\frac {e^{i \Theta}+ e^{-i \Theta}}{2} = cos \Theta$

$\frac {e^{i \Theta}- e^{-i \Theta}}{2i} = sin \Theta$

Quindi quando $\lambda^2 + a \lambda +  b = 0 $ (equazione caratteristica di $y''+ay'+y=0$) ha soluzioni complesse coniugate $\lambda = \alpha \pm i \beta$ possiamo scegliere come soluzioni linearmente indipendenti:
$y_1 = e^{\alpha t} cos \beta t$
$y_2 = e^{\alpha t} sin \beta t$ in quanto combinazioni lineari delle soluzioni: $e^{(\alpha + i \beta)t}$ ed $e^{(\alpha - i \beta)t}$
$= e^{\alpha t} e^{i \beta t}$ ed $= e^{\alpha t} e^{-i \beta t}$