Esercizi equazioni differenziali

3)

$y'+xy-x=0$

$y'+xy=x$

$y=z+y_0$, dove $z$ è l'integrale generale dell'equazione omogenea associata e $y_0$ è l'integrale particolare dell'equazione completa.

• $z'+xz=0$
• $z'=-xz \rightarrow \frac{z'}{z}=-x$
• $\int \frac{z'}{z}dx=-\int x dx \rightarrow \int \frac{1}{z}dz=-\frac{x^2}{2}+c$
• $z=ce^{-\frac{x^2}{2}}$
• $y_0(x)=c(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$
• $y_0'(x)=c'(x)e^{-\frac{x^2}{2}}-xc(x)e^{- \frac{x^2}{2}}$
• cerco $y_0$ soluzione particolare
• $c'(x)e^{-\frac{x^2}{2}}-xc(x)e^{-\frac{x^2}{2}}+xc(x)e^{-\frac{x^2}{2}}=x$
• $c'(x)=xe^{\frac{x^2}{2}}$
• $c(x)=\int x e^{\frac{x^2}{2}}dx=e^{\frac{x^2}{2}}$
• $y = z + y = ce^{-\frac{x^2}{2}}+c(x)e^{-\frac{x^2}{2}}=ce^{\frac{x^2}{2}}+e^{\frac{x^2}{2}}e^{-\frac{x^2}{2}}=ce^{\frac{x^2}{2}}+1$

controllare applicando la formula risolutiva.

4)

$y'+ycotanx-2cosx=0$

$y(x)=ce^{-A(x)}+e^{-A(x)}\int f(x) e^{A(x)}dx$

$y'+(cotanx)y = 2 cosx$ è definita in $]k \pi , (k+1)\pi [, k \in \mathbb{N}$

$A(x)=\int cotanx dx = \int \frac{cosx}{sinx}dx $

$=ln|sinx|+c$

$y(x)=ce^{-ln|sinx|}+e^{-ln|sinx|}2\int cosx e^{ln|sinx|}dx= c \frac{1}{|sinx|}+\frac{2}{|sinx|}\int cosx |sinx|dx$

Esaminiamo i due casi:

• $sinx > 0$
• $y(x)=\frac{c}{sinx}+\frac{2}{sinx}\frac{sin^2x}{2} = \frac{c}{sinx} + sinx$
• $sinx < 0$
• $y(x)=-\frac{c}{sinx}-\frac{2}{sinx}\int -sinx cosx dx = - \frac{c}{sinx}+\frac{2}{sinx}\int sinx cosx dx = -\frac{c}{sinx}+sinx$

Visto che c è sia $> 0$ che $< 0$

$y(x)=\frac{c}{sinx}+sinx$

5)

• $y'=xy^3$ a variabili separabili

$y^3=0 \Rightarrow y=0$  soluzione stazionaria

$y \neq0 \rightarrow \frac{y'}{y^3}=x \rightarrow$ integriamo primo e secondo membro... il primo:$\int y^{-3}dy = -\frac{1}{2y}$, il secondo fallo.

$-\frac{1}{2y^2}=\frac{x^2}{2}+c$

passo ai reciproci

$\Rightarrow \frac{1}{y^2}=-x^2+2c$

$\Rightarrow \frac{1}{y^2}=-x^2+c$ (vale perché $c$ assorbe le costanti)

$\Rightarrow y^2 = \frac{1}{c-x^2} \rightarrow$ le soluzioni sono:

$y=\pm \frac{1}{\sqrt{c-x^2}}$; $y=0$

Fissato $c$:

$c-x^2>0 \rightarrow c>x^2$

$- \sqrt{c}<x<\sqrt{c}$

Rappresentiamo $y=\frac{1}{\sqrt{c-x^2}}$

per $c=1$ e $c=2$

$c=1$  $y=\frac{1}{sqrt{1-x^2}}$

C.E.: $1-x^2>0 \rightarrow -1<x<1$

[grafico dell'intervallo]

$y(x)=(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}$

$y'(x)=-\frac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac{3}{2}}(-2x)=\frac{x}{\sqrt{(1-x^2)^3}}$