Funzioni continue

($f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$)
Definizione.
Una funzione $f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ si dice continua in un punto $(x_0, y_0)\in \mathbb{R}^2$ se $$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y) = f(x_0,y_0)$$. Continua a valere che :
somma prodotto e il quoziente di funzioni continue restano continue (dove le funzioni hanno senso) lo stesso vale per la composizione di funzioni continue.

Teoremi su funzioni continue.
Definizione Un insieme $E (\subset \mathbb{R}^2)$ si dice limitato se $\exists R > 0$ tale che, l'insieme $E \subset U_R(0,0)$.

Definizione.
Un insieme $E$ si dice connesso, se:
$\forall P,Q, \in E, \exists$ un arco di curva continua che congiunge $P$ e $Q$.

Teorema Weierstrass
Ogni funzione continua su un insieme chiuso e limitato $K$, ammette massimo e minimo (assoluti) in $K$.

Teorema di esistenza degli zeri
Sia $f: C \to R$ continua con $C$ insieme connesso di $\mathbb{R}^2$, se risulta $f(P)<0$ e $f(Q)>0$ con $P,Q \in C$ allora esisterà un terzo punto $R \in C$ tale che $f(R) = f(x_R, y_R)=0$

Esercizi
Insiemi di definizione
1)
$f(x,y)=\sqrt{y^2-x^2}+ln(1-x^2-y^2)$
$\begin{cases} y^2 -x^2 \geq 0, \\ 1-x^2-y^2>0, \end{cases}$ ovvero
$\begin{cases} (y-x)(y+x) \geq 0, \\ y=x, y=-x \end{cases}$ quindi non è continua e non è limitata.

2)
$f(x,y) = \sqrt{y^2-x^4}$
$y^2-x^4 \geq 0$
$(y-x^2)(y+x^2)\geq 0$
$y=x^2$, $y=-x^2$

Esercizi sui limiti 
1)
$$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0) (x^2+y^2)^\frac{m}{n}=0}$$ se $m,n \in \mathbb{N}, n \not= 0$
Dimostriamo che vale usando la definizione.
Dato $\epsilon > 0$ si deve determinare $\delta >0$ tale che $0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta$
$\Rightarrow |f(x,y)|<\epsilon$.
Considero la quantità
$0<(x^2+y^2)^\frac{m}{n}=(\sqrt{x^2+y^2})^\frac{2m}{n}$
$(x,y) \not= (0,0)$
$(\sqrt{x^2+y^2})^\frac{2m}{n} < \epsilon$ se $\delta^{\frac{2m}{n}}=\epsilon$
$\delta = \epsilon^{\frac{n}{2m}}$
In generale vale
$$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)^\alpha = 0$$ se $\alpha > 0$

2)

$$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^3}{x^2+y^2}=0$$

0

...............