Equazioni Differenziali

Data $y(t)$ della variabile $t$, si dice equazione differenziale un'equazione del tipo
$F(t, y(t), y'(t), ..., y^n(t))=0$ in cui compaiono la funzione incognita $y(t)$ ed alcune delle sue derivate.
Si dice ordine di un'equazione differenziale l'ordine massimo di derivazione con cui compare la funzione incognita.

L'equazione si dice di tipo normale:
$y^{(n)}=f(t, y(t), ..., y^{(n-1)}(t))$
se la derivata di ordine massimo si può esplicitare (in funzione delle altre variabili).
Una funzione $\rho(t)$ (continua) derivabile sino all'ordine $"n"$ si dice soluzione o integrale della equazione differenziale di $F(t, \rho(t), \rho'(t), ..., \rho^n(t))=0$

Es: Dire se $y(t)=sin(2t)$ è un integrale/una soluzione dell'equazione differenziale:
$y''(t)+4y(t)=0$
$y''+4y=0$ (brevemente)

$y(t)=sin(2t)$
$y'(t)=2cos(2t)$
$y''(t)=-4sin(2t)$

sostituendo in $y''+4y=0$
$-4sin(2t)+4sin(2t)=0$ Sì!

Es: $g(t)$ continua definita in $[a,b]$
$y'=g(t)$

Cerchiamo una funzione $y(t)$ di cui è assegnata la derivata. Integrando:
$y(t)=\int g(t)dt$
$y'=\frac{1}{1+t^2}$ $y(t)=\int \frac{1}{1+t^2}dt=arctg(t)+c$
la famiglia di funzioni: $y(t)=arctg(t)+c$
prende il nome di integrale generale dell'equazione differenziale.

$y'=cost$
$y(t)=sint+c$ integrale generale

[grafo]