Equazioni differenziali del primo ordine

(in forma normale)
$y'=f(t, y(t))$

Equazioni differenziabili a variabili separabili:
$y'(t) = a(t) b(y(t))$

con a,b continue in $I \subset \mathbb{R}$

Es:
$y'=2t(y-1)^2$     $y=1$ è una soluzione stazionaria

In generale, se esiste un valore $y_0$ per cui $b(y_0)=0$ allora $y=y_0$ è una soluzione dell'equazione (stazionaria)
$b(y)=0$ genera le soluzioni stazionarie
supponendo ora $b(y)\neq 0$, possiamo separare le variabili
$\frac{y'}{b(y)}=a(t)$ integrando rispettivamente a t.
$\rightarrow \int \frac{y'}{b(y)}dt=\int a(t)dt$
poiché $y'(t)dt=dy(t)$, posso scrivere
$\int \frac{1}{b(y)}= \int a(t) dt = A(t)+c, b(y)=0$

definisce implicitamente le $y(t)$ (soluzioni)


Es: Risolviamo $y'=2t(y-1)^2$
$(y-1)^2=0 \rightarrow y=1$ soluzione stazionaria
supponendo $y \neq 1$, separando le variabili, otteniamo:
$\frac{y'}{(y-1)^2}=2t \rightarrow \int \frac{y'}{(y-1)^2}dt = 2 \int t dt$
$int \frac{1}{(y-1)^2}=t^2+c \rightarrow -\frac{1}{y-1}=t^2+c$
passando ai reciproci per esplicitare la funzione $y(t)$, otteniamo
$y-1=-\frac{1}{t^2+c}$

$y=1-\frac{1}{t^2+c}$   $c \in \mathbb{R}, y=1$


La funzione incognita $y(t)$ e la sua derivata $y'(t)$ compaiono linearmente.

$y'+a(t)y=f(t)$ a questa equazione si associa
$z'+a(t)z=0$    (equazione omogenea associata)

Teorema

L'integrale generale dell'equazione completa $y'+a(t)y=f(t)$
è dato da $y(t)=z(t)+y_0(t)$
dove $z=z(t)$ è l'integrale generale dell'equazione omogenea associata (EOA) ed $y^{(t)}=y_0(t)$ è una soluzione  particolare dell'equazione completa.

Dimostrazione:
Sia $y(t)$ soluzione di $y'+a(t)y=f(t)$ ed $y_0(t)$ una soluzione particolare $y'_0+a(t)y_0=f(t)$
$\Rightarrow (y-y_0)'+a(t)(y-y_0)=0$
$\Rightarrow z=y-y_0$ è soluzione dell'EOA.
$y=z+y_0$
D'altro canto, se $z(t)$ è soluzione di $z'+a(t)z=0$, ed $y_0$ è soluzione particolare di $y'_0+a(t)y_0=f(t)$.
Se metto a sistema e sommo le due equazioni, ottengo che:
$y=z+y_0$ è soluzione dell'equazione completa.