Funzioni a più variabili

Funzioni a variabili reali

1. $f: \mathbb{R} \ rightarrow \mathbb{R}$ funzione di variabile reale a valori reali
2. $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ funzione di più variabili a valori reali.

Es: $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ (funzione di 2 variabili)

$(x,y) \rightarrow z = f(x,y)$

• $f(x,y) = xy$
• $f(x,y) = x^2+y^2$

Funzioni a valori vettoriali

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ 

Es: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$

$t \rightarrow \begin{cases} x = x(t), \\ y=y(t) \end {cases}$ posizione nel piano.

Come nella legge oraria, la posizione del punto dipende da $t$ (tempo): $(x(t), y(t))$

Es: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3$

$t \rightarrow \begin{cases} x = x(t), \\ y=y(t), \\ z=z(t) \end {cases}$ posizione nello spazio.

Curve (funzione)

Definizione. Dato $I$ intervallo di $\mathbb{R}$, si dice curva ogni funzione continua:

$\gamma : I \rightarrow \mathbb{R}^n$

$n=2$ la curva $\gamma : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^2$ con $\gamma$ continua, ovvero se: $\gamma(t)=(x(t), y(t)) \in \mathbb{R}^2$ allora le componenti $x=x(t)$ e $y=y(t)$ sono continue.

La curva si dice chiuse se $\gamma (a) = \gamma (b)$............